数学の未解決問題「ABC予想」が解かれた。論文の発表者は京都大の望月新一教授（1969年生まれ）。7年半前、2012年8月のことだ。しかし、いまだにその論文を掲載する数学誌は出ていない（文末に追記有り）。謎の証明だと言える状況だ。どうなってしまったのか。そう思っている人もきっといるだろう。, 証明には望月教授の創った新しい数学手法が用いられている。「宇宙際タイヒミュラー理論」（Inter-Universal-Teichmuller theory＝IUT理論）。本書『宇宙と宇宙をつなぐ数学』（株式会社KADOKAWA）は、IUT理論とそれを使ったABC予想解決の一般向け紹介書だ。, 著者は、加藤文元さん（東京工大教授）。加藤さんは望月教授と学んだ大学が異なるが同学年だ。IUT理論完成までの最終6年間にかかわり、両者で月1、2回程度、セミナーを開いた経験を持つ。同理論の一般向け紹介者としては格好の人物だと言っていい。, 学会誌掲載が実現しないのは、IUT理論がとても難解だからだ。論文掲載の事前審査が進まないのだそうだ。加えて加藤さんが本書を書いたのは、誤解が数学界に広がっていることへの懸念もあった。, 望月教授は「トップクラスの学者でも理解するのに長時間を要する」と見ていて、学界の理解を広げるのにさして熱心ではないとされる。下手をすると確認されないまま忘れ去られる恐れもある状況だと言えるかもしれない。2004年のド・ブランジュによる「リーマン予想解決」のようにほとんど放置されている先例もある。, 数学の未解決問題では「ヒルベルトの23の問題」と「ミレニアム懸賞問題」がよく知られている。「連続体仮説」や「ポアンカレ予想」（いずれも解決済み）はその一つだ。解決される度に大きなニュースになった。一方、ABC予想は広く報道されたものの一般にはなじみが薄い。テーマ化したのが1985年と新しいためだ。, 自然数ａとｂが互いに素であるとき、aとbの和をcとする（ａ+ｂ＝ｃ）。これを「ABCトリプル」と呼ぶ。このABCトリプルの積（a・b・c＝D）を取ったときのDの根基（こんき＝ラディカル）をdとすると、dとcとの大小比較で現れる事態についての予想が、ABC予想だ。, 根基は聞き慣れない用語だが、Dの場合、互いに異なる素因数を、2乗、3乗などダブりをすべてなくした上で乗じた積dのことだ。「rad D」と書く。例えば、Dが36の時はrad 36＝2＾2×3＾3→2×3＝6（"＾"はべきを表す）となる。逆に根基が6となる元の数は、6や12、18......など無限個ある。, ここでcとdの大小関係は、c < dとなるのが普通だ。しかしc ≻ d になることも例外的にある。この例外は無限個あるが、「d を累乗して少し大きくすることで有限個にできるだろう」とABC予想は考える。つまり、c ≻ d＾（1＋ε）（ε＝イプシロンは正の小さな実数）だ。, 数学の門外漢には、このような予想がどれほど重要なのか、と映るかもしれない。実はこれが解決すると、さまざまな数学の難問が解けてしまう、と言う。A・ワイルズが別の方法で解決した「フェルマーの最終定理」（「Aのｎ乗＋Bのｎ乗＝Cのｎ乗」を満たす3以上の自然数ｎはない）をはじめ、「モーデル予想」「トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理」「エルデシュ＝ウッズ予想」など数多い。大変な威力を持つ予想なのだ。, 本書で加藤さんは、望月教授の来歴や加藤さんとのかかわり、同予想を取り巻く状況を紹介。その後でIUT理論を概観し、これを適用したABC予想解決への道筋を示す。, 加藤さんが最初に指摘するのは、予想（ａ+ｂ≻ d）の左辺が和の計算であるのに対して右辺（ d）がかけ算であることだ。数学は足し算とかけ算が強固に絡まり合っている。積を取ると必ず足し算が付いてくる複素数などは、典型なのかもしれない。だが自然数では2つを切り離して、足し算を固定、かけ算だけ伸び縮みさせてみよう、と言う。この切り離すというのがIUT理論のアイデアだ。, 素数の積をめぐっては、こんなことが言えるかもしれない。つまり、自然数の定義だ。1に1を足していって作られたものだとする「ペアノの公理」がよく知られる。足し算による定義だ。一方、かけ算でも定義できる。自然数はすべて素数の積に分解できるので、それをすべて作って小さい順に並べる方法だ（ただし1は素数の0乗）。数をそんなふうに見ると、足し算とかけ算は独立していて分離できるかもしれないと思えてくる。, ではABC予想はどうか。予想の主張である「c ≻d＾（1＋ε）」。これのIUT理論での「deg Θ≦deg q＋c」への帰結を目指す。, 評者のような文系出身者に「deg 」は無縁だったが、次数（デグ）を表す記号だ。ここではdeg Θ（デグ・テータ）が現実舞台での計算結果、deg qはかけ算を伸縮させた舞台での計算結果となる。右辺に加えられているcは、ABC予想のcとは別物で、ひずみの定量的評価で求められた小さな値だ。IUT理論によるABC予想は、現実舞台での累乗数が、かけ算伸縮舞台での累乗数よりも小さいことに帰結させたい訳だ。, いよいよ本論。加藤さんはここで、これまで「かけ算を伸び縮みさせた舞台」と呼んでいたものを示す。その舞台とは、現実舞台の「q」を伸縮舞台での「qのｎ乗」に対応させたものだ。これはLogを用いると、「Ｎ Log ｑ≒Log ｑ」（両項を結ぶのは近似であることに注意）と表される。Log（けた数）と先に出てきたdegの違いは、ここでの理解の上では考えなくてよいそうだ。同じようなものと考えていい。, なんだか、値が確定しないまま議論が進められていくような、キツネにつままれたような印象を持つ流れだ。それも、本書に収められている望月教授本人による寄稿を読めばある程度解消する。, 「数学は曖昧さを許さない体系だと思っている人が多いかもしれないが、実はそうではない」として、曖昧さは以前から取り入れられている、と言う。, つまりは、ひずみを抱えていても、そのひずみ定量的に評価できれば合理的である、ということだ。「未来からの論文」とも称されるIUT理論のキモは定量的評価だったのだ。, 本書は、ぼんやりと読むと1日、2日で読了する。分かりやすく書かれた本だという印象だ。しかし、読み返すうちに、緻密に張られた伏線に気づくだろう。例えば、「遠アーベル幾何学」や「楕円曲線」など数学専攻者でも難解な分野の知識も、IUT理論の理解には必要なのだと思い知らされることになる。ただそれらを体系的に組み上げてIUT理論に臨むことは困難でも、それぞれをトピックとして立ち寄るだけで、十分に面白い。, 複数の舞台に情報＝対称性を伝達するのに使う群論についての加藤さんの解説は、特に分かりやすかった。群論は「行為の算術」であるという群論の哲学と、その技術論を分けて紹介している。群論では形は伝えられても大きさは伝えられないという特質も透けて見える。群論を学びたい人にもおすすめだ。, 文系だが、難解な数学にも挑戦してみたいと思っている読者は少なくないだろう。そんな一人として、多少なりとも参考になればと思って紹介した次第だ。, 加藤さんの著書には『ガロア―天才数学者の生涯』(中公新書)、『数学の想像力: 正しさの深層に何があるのか』(筑摩選書)、『物語 数学の歴史―正しさへの挑戦』(中公新書)などがある。また、BOOKウォッチでは数学関連で『完全版 天才ガロアの発想力』（技術評論社）、『クロード・シャノン 情報時代を発明した男』（筑摩書房）、『虚数はなぜ人を惑わせるのか』（朝日新書）などを紹介済み。, 2020年4月3日追記 数学の超難問といわれる「ABC予想」を京都大学数理解析研究所の望月新一教授（51）が証明したとされる論文が、ついに国際的な数学誌に掲載されることになった。京都大が2020年4月3日に発表した。. 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い 5 x2.Teichmuller¨ 理論的な変形 C 上の古典的なTeichmuller¨ 理論: リーマン面上の二次微分に付随する標準的な座標z = x+iy を利用すると、 膨張率1 < K < 1に対して、Teichmuller¨ 変形は次のような形で記述する ことができる： Peter Scholze of the University of Bonn and Jakob Stix of Goethe University Frankfurt describe what Stix calls a “serious, unfixable gap” within a mammoth series of papers by Shinichi Mochizuki, a mathematician at Kyoto University who is renowned for his brilliance. 株式会社光文社Copyright (C) Kobunsha Co., Ltd. All Rights Reserved. が成立する』, 数式の意味は後でするが、まずは表記から。「（rad（abc））^2」というのは、「rad（abc）の2乗」という意味である。, まず「互いに素な整数」から。これは、「a,b,cに共通の約数が存在しない」ぐらいの意味だ。例えば、「2，4，6」という3つの数字は、2という共通の約数があるので「互いに素」ではない。これを2で割った「1，2，3」という3つの数字は「互いに素」だ。共通の約数を持たない3つの数字を選ぼう、ということである。, 次は【max{|a|,|b|,|c|}】だ。これは日本語で書くと、「a,b,cの中で、絶対値が一番大きなもの」となる。「絶対値」というのは、「マイナスの数もプラスの数として考える」ぐらいに思ってもらえればいいだろう。例えば、「a=3,b=-25（※見にくいですが、「マイナス25」です）,c=-22（※マイナス22）」とすると、数字として一番大きいのは「3」だが、絶対値というのはマイナスをプラスの数字だと思って考えるので、このa,b,cにおいて【max{|a|,|b|,|c|}】を考えると、25ということになる。, 最後に【rad（abc）】だ。これはちょっと説明しにくいが、「rad」というのが「a,b,cの素因子の積」ということになる。, 「a=8,b=6,c=15」とする（今説明のために、a+b=cという条件は無視している）。それぞれ因数分解すると、「8＝2×2×2」、「6＝2×3」、「15＝3×5」となる。つまり、この三つの数a,b,cに使われている「素因子」は、「2」「3」「5」ということだ（因数分解して出てくる数字が「2」「3」「5」だけということ）。なので、これら三つの数を掛け算して（2×3×5）、rad（abc）=30となる。, 「a=30,b=14,c=1」としよう。これも素因数分解すると、「30＝2×3×5」、「14＝2×7」なので、「素因子」は「2」「3」「5」「7」。よって掛け合わせると、rad（abc）は210となる。, 実際には右辺は「rad（abc）」を2乗するので、先程挙げた例ではそれぞれ、30の2乗で900、210の2乗で44100となる。, では望月教授が証明したとする「abc予想」（ここでは【「abc予想」（望月）】と表記することにしよう）とはなんなのか。, 『任意のε＞0に対して、ある正の定数K（ε）≧1が存在して、次を満たす： 数学の未解決問題「abc予想」が解かれた。論文の発表者は京都大の望月新一教授（1969年生まれ）。7年半前、2012年8月のことだ。しかし、いまだにその論文を掲載する数学誌は出ていない（文末に追記有り）。謎の証明だと言える状況だ。どうなってしまったのか。 「本がすき。」のサイトで、「非属の才能」の全文無料公開に関わらせていただきました。, 人工知能（AI＝Artificial Intelligence）は、金融システムや通信網を制御し、道案内や打ち間違いの探知、何を買うか／観るかさえも教えてくれる、今や私たちの「目には見えない生活基盤」になっ […], 日本の助産師に憧れる、ヨーロッパの若い女性 ジュリアはスイスに住む若い友人である。母親はスペイン人、父親はスイス人。国際協力に携わる両親がカンボジアで仕事をしているときに生まれた。助産婦になりたいという。 […], 著者累計42万部超！ 大人気イラストレーター・ＹＯＫＯの最新刊『大人パリジェンヌStories～おしゃれと恋と日常と～』から、気になる中身をご紹介。 本書を彩るのは、ＹＯＫＯがパリで受けた刺激から生み出され […], 閉塞した家族関係のなかで光を見出しながら生き抜こうとする女性を描いたデビュー作が世の本読みたちを虜にした一木けいさん。新作は「デビュー作で書ききれなかったことを書いた、書かなければならなかった小説」と語ります。痛いくらい […], 死に至る病とは絶望のことである、と、かつて哲学者キルケゴールは書いた。 絶望とは、神を信じられないことを意味した。 だが今日、死に至る病の正体は、「親の愛さえも信じられない」こと、 つまり「愛 […], いいオトナなのに、なんて言わせない！ 「推しを養う」オタクでありつつ、働くオトナとしての日々をサバイブしている女たち。 『オタクだけど、オトナなので。』に収録の本音トーク第二弾！ 話題沸騰の書籍「オタクだけ […].
こんにちは。Parole編集部です。 今年4月に、京大の望月新一教授が提唱した『 IUT理論（宇宙際タイヒミュラー理論）』が欧州数学会が発行する権威ある専門学術誌『PRIMS』に受理され、特別号に論文の掲載が決まったニュースは、数学界に大きな衝撃を与えました。 All rights reserved. 米国のある数学者は、京都大学の望月新一教授が提唱する「宇宙際タイヒミュラー（Inter-Universal Teichmüller Theory、以下IUT）理論」の論文に初めて目を通した時の印象を、ブログでそう記した。 宇宙際タイヒミュラー理論（うちゅうさいタイヒミュラーりろん、Inter-Universal Teichmüller Theory, IUT）は、数学者望月新一によって開発された数学理論である。望月が2000年代に開発した理論にちなみ、数論幾何学における彼の以前の研究に続いて命名された。, 望月によれば、それは「楕円曲線を備えた数体のタイヒミュラー理論の算術版」である。 この理論は、2012年に彼のウェブサイトに投稿された4つのプレプリントのシリーズで公開された。 理論の最も印象的な主張された適用は、数論におけるさまざまな優れた予想、特にABC予想の証明を提供することである。 望月と他の数人の数学者は、理論は確かにそのような証拠を生み出すと主張しているが、ボン大学のペーター・ショルツェを含む数学者はこれを認めていない。英国のある数学者は「証明には欠陥があるという見方に変わってきている」と指摘している[1][2]。, この理論は2012年までに望月によって完全に開発され、最後の部分は4つのプレプリントのシリーズで作成されている[3]。, その後、望月は2012年にかなり珍しい方法で理論を公開した。論文は京都大学数理解析研究所（RIMS）Webページでのみ公開され、発表や事前公開サーバーへの投稿は行われなかった。その後まもなく、論文はイヴァン・フェセンコによって取り上げられ、数学的コミュニティー全体が、ABC予想を証明したという主張を認識した。主張の受け入れは最初は熱狂的だったが、望月によって導入され使用された独自の言語には即座に何人かの数論の専門家が困惑した[4][5]。IUTに関する全国ワークショップが2015年3月にRIMSで、2015年7月に北京で開催された[6]。, IUTに関する国際ワークショップは2015年12月にオックスフォードで、2016年7月にRIMSで開催された。国際ワークショップは100人以上の参加者を集めた。これらのワークショップのプレゼンテーションはオンラインで見ることが出来る[7][8]。しかし、これらは望月の考えのより広い理解につながらず、彼が主張した証明のおかれている状況はこれらの出来事によっても変更されなかった[9]。, 2017年、望月の議論を詳細に検討した多くの数学者が、4編の論文のうち3編目の系3.12の証明の終わり近くに、理解できない特定の点を指摘した[10][11]が、即座に望月自身によって修正版が発表された[12]。, 2018年3月、ペーター・ショルツェとジェイコブ・スティックスが京都大学を訪れ、望月と星裕一郎は彼らと5日間議論した[13]。これは疑義を解決しなかったが、問題がどこにあるかを明確にした[10][14]。また、双方によるディスカッションのレポートの発行にもつながった。2018年5月に、ショルツェとスティックスは、2018年9月に更新された10ページのレポートを書いて、系3.12の証明の（以前に特定された）ギャップを詳述し、それは「非常に厳しいので、（彼らの意見では）小さな修正が証明戦略を救うことができない、そして望月のプレプリントはABC予想の証明を主張することはできない」[15]と抗議した。
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