兄は1分間に\(80m\)弟は1分間に\(48m\)歩くので、2人の歩いた距離の和は、1分間に\(128m\)ずつ増えるということになります。, 2人の歩いた距離の和が\(3.2km\)、\(3200m\)となった時に2人は出会うので、$$3200\div 128=25$$2人が出会うのは歩き始めて25分後ということが分かりました。, それでは引き続き②を解いていきましょう。 妹の速さを時速に単位変換すると、$$0.2\times 60=12$$妹の速さは時速\(12km\)ということが分かりました。 今回はそんな旅人算の解き方について書いていきます。, 2人が別々の地点を出発して向かい合って進む旅人算の問題です。 ©Copyright2020 中学受験ナビ.All Rights Reserved. 時間を基準にするのか分を基準にするのかの差です。 ここをうまくクリアしないことには答えに行きつくことができません。, ポイントは、兄と弟のそれぞれの移動距離を考えないことです。 旅人算の問題の中で、登場人物が2人でなく3人や4人になる場合があります。登場人物が3人の旅人算を「3人旅人算」と呼んでいます。 この3人旅人算の中で、一番よく出題されているであろう問題が次のような問題です。 きちんと問題文を把握するのがこの、問題を解くための第1歩です。 すると、弟の速さは分速\(250m\)ということが分かります。 つまり、兄が弟に追いついた時間は、$$1800\div 30=60$$出発して兄が弟に追いつくのは出発して60分後ということがわかりました。, まずは兄の速さ時速\(7.2km\)を、秒速○\(m\)の形にすると、秒速\(2m\)。 速さの単元の応用問題の中でも王道です。 出会うまでに2人が移動した距離の和は\(24km\)ということが最初に分かります。. 兄は弟よりもどれだけ長く歩いたのでしょうか。 2人が出会う場所やその時間がわからないので、2人の移動した距離の和を利用して答えを求めていきます。, 2人が出会うまでに移動した距離の和は家から公園までの距離に等しいので、\(2500m\)と分かります。, また姉が移動する距離は1分ごとに\(175m\)、妹が移動する距離は1分ごとに\(75m\)なので、1分ごとに増える2人が移動した距離の和が分かります。$$175+75=250$$姉と妹が移動した距離の和は1分ごとに\(250m\)増えることが分かりました。, 2人の移動した距離の和が、\(2500m\)になった時に2人は出会います。$$2500\div 250=10$$問題で聞かれているのは、公園から2人が出会った場所の距離にあたるので、$$75\times 10=750$$公園から\(750m\)の地点で2人が出会ったことが分かりました。, 速さの公式を中心に考えていくと、距離や速さ、時間を直接求めることばかりに気が行きがちになります。 きちんと意味を考えながら例題を解いていきましょう。, ①からみていきましょう。 1分間に姉は\(100m\)進み、1分間に弟は\(200m\)進むので、1分間に2人の距離がどれだけ縮むのかを求めると、$$200m-100m=100m$$となります。 ①で姉が家を出てから4分後に弟が姉に追いつくので、姉が4分移動した地点が答えとなります。$$100m\times 4=400$$となり、答えは\(400m\)ということになります。, ①からみていきましょう。 2人が会うまでの時間は①で25分と分かっているのでこれを使います。 弟の速さの単位が時速\(15km\)と大きく、扱いにくいので、まずは弟の速さの単位を分速○\(m\)に変えます。 速さの理解というよりはまずはその問題文中で起こる現象の理解が先に来ると思います。 2人が1分歩くごとに、\(30m\)兄のほうが多く歩くことになります。[2]差が付くと言うことですね。 jQuery('#footnote_plugin_tooltip_349_2').tooltip({ tip: '#footnote_plugin_tooltip_text_349_2', tipClass: 'footnote_tooltip', effect: 'fade', predelay: 0, fadeInSpeed: 200, fadeOutSpeed: 200, position: 'top center', relative: true, offset: [-7, 0], }); 先程兄のほうが\(1800m\)多く歩くことが、分かりましたよね。 速さに関する問題には、「速さの三用法」「旅人算」「点の移動」「ダイヤグラム」「通過算」「流水算」「時計算」など、実に様々なパターンがあります。, 今回は、その中でも最も定番の「旅人算」の基本の考え方について説明していきます。「出会い」「追いかけ」の基本問題と、「3人旅人算」の典型題をご紹介しています。, （なお、「はじき」「みはじ」などは使わなくてよいと思っているので、この記事の中ではこれらの使い方は説明していません。）, 「速さ」とは「一定時間あたりに進む長さ」になります。速さの単位については、次のような言葉で表します。, 例えば1秒あたりに2m進む人の速さは「秒速(毎秒)２ｍ」です。これを1分あたりに換算すると、2×60＝120(ｍ)進むことになるので、「分速(毎分)120ｍ」となります。さらに1時間あたりに換算すると、120×60＝7200(ｍ)、つまり7.2㎞進むことになるので、「時速(毎時)7.2㎞」となります。特に規定があるわけでもありませんが、時速に直すと距離が長くなるので「㎞」に直すことが多くなります。, 速さの三用法の公式については、「速さ×時間＝距離」だけ覚えておけばよいです。速さや時間を聞かれた場合には逆算すればすむことになります。また、公式は覚えていなくても言葉の意味から考えればどのような計算をすべきかがわかるはずなので、公式に頼るよりはしっかりと文章を読むようにしてください。, 速さの問題の中で、「登場人物が複数いる問題」について旅人算と呼びます。登場人物が複数いることによって何が起こるかというと、「出会い」や「追いかけ」といったパターンの問題が生まれます。, 最も王道なのは登場人物が2人の場合で、2人の速さの「和」か「差」に注目して解く、というのが旅人算の基本パターンです。登場人物が3人や4人になったときも、2人ずつ考えていくことで解法の糸口が見つけ出せます。, 離れた2地点から向かい合って進んでいった場合に、時間が経てば「出会う」というイベントが発生します。このとき、2人の速さと、出発してから出会うまでの時間や進んだ距離などの進行状況を考えていきます。, 2人の進んだ長さの和が3㎞(＝3000ｍ)になったときに出会うというイベントが発生します。1分間に100mずつ近づいていることを考えれば、公式に頼らずとも自然と「3000÷100」という式が出てきますね。, ちなみに、出会ったあとは離れていくのですが、その場合にも「1分間に100mずつ離れていく」ということになります。, 離れた2地点から同じ方向に進んでいる場合に、「追いかけ」というイベントが発生します。後ろから追いかけている人の方が速くないと、当然のことながら追いつけません。このとき、2人の速さと出発してから追いつくまでの時間や進んだ距離といった進行状況を考えていきます。, 最初の1㎞(＝1000ｍ)の距離の差を縮めたときに追いつくというイベントが発生します。1分間に40ｍずつ追いついているので、「1000÷40」という式になりますね。, ちなみに、追いついたあとは「追い越してどんどん離れていく」ということになりますが、その場合にも1分間に40ｍずつ離れていくことになります。, 旅人算のごくごく基本の問題だけを取り組んでいると、「同じ方向に進むときは速さの差、反対方向に進むときは速さの和」というような間違った覚え方をしてしまう人がいます。こういった思い込みによって、解けない問題が出てきてしまうので気をつけてもらいたいところです。, 旅人算の問題は、実に多様な問題を用意することができます。出発の時間が異なる問題や、途中で速さや進行方向が変わるといった問題も割と定番です。全ての問題を紹介していくと問題集が出来上がるので、今回はちょっとだけご紹介します。, 上の問題のように、同じ地点から出発している問題でも、出会いのパターンになることがあり得ます。「同じ方向に進むんだから、差で考えるんでしょ？」という間違った思い込みがあると、この問題はなかなか解けません。, 旅人算の問題は、「2人の和」か「2人の差」が解くためのカギになります。どちらが求められるのかは問題文の状況次第となるので、問題文をよく読んで条件を整理しながら考えていきましょう。, 旅人算の問題の中で、登場人物が2人でなく3人や4人になる場合があります。登場人物が3人の旅人算を「3人旅人算」と呼んでいます。, 上の問題では、「春子と夏夫が5分で出会う距離」が「春子と秋子の進んだ距離の差」に等しいということが、この問題を解くためのカギになります。このように、3人の登場人物がいても、和や差を考えるのは2人ずつであることがほとんどです。, 池の周りを周る問題でも同じような問題を問題を出題されることがあります。池の周りの同じ地点から出発して反対方向に進んでいる場合には、池をスタート地点の所からプチっと切って伸ばすと上の図と同じ状態になりますので、同じようにして考えることができます。, 旅人算の問題は特に、情報量が多いのでしっかりと条件を整理することが必要です。文章だけを繰り返し眺めていても、頭の中でイメージが明確についていなければ解くことが難しいといえます。, 今回紹介したような基本の問題くらいであれば、すぐに慣れて図をかかなくてもできるようになることがほとんどですが、速さの問題はいくらでも条件を変えて作ることができます。速さ、時間、距離のうち、条件として何がわかっていて何がわかっていないのか、誰がどの方向に進んでいるのか、などを「一目瞭然」の状態にすることが望ましいです。条件をしっかり整理すれば、そこからわかることが見えてくるようになるでしょう。, 今回の記事のように、進んだ長さを矢印つきの線分図で表すほか、ダイヤグラムを自分で作るなどをしてもよいと思います。自分にとって「情報が一目瞭然になる状態」であれば、どちらでも構いません。わかりやすいほうで取り組んでみてください。, 本メールマガジンでは『中学受験を９割成功に導く「母親力」』著者であり中学受験のエキスパート繁田和貴が数多くの中学受験合格者を導いてきたノウハウを余すことなく公開します。, 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。. 中学受験の算数に出てくる旅人算の解き方についての解説です。基本的な問題から追越し算、池を回るタイプの旅人算や貯金額を求めるものなどオリジナル問題を掲載しています。最も基本となる旅人算の問題はお互いに向かって進んでいる（旅をしている）二人がいつ出会うかというものです。 2人が出会うまでにお兄ちゃんと弟君が移動したそれぞれの距離をいきなり求めることはできません。, 兄と弟が出会うまでに移動した2人の距離の合計を考えていきます。 旅人算の詳しい解説はこちら、基本問題はこちら、応用問題はこちらへどうぞ。 （標準問題1） 今日のマラソン大会のコースは6.2kmです。 中間の3.1kmの地点で折り返して戻ってきます。 答えは姉が家を出てからの時間なので、\(2+2=4\)となり、求める答えは4分となります。, 問題がをきちんと把握してないとつい2分と答えを書いてしまうので気を付けさせてくださいね。, それでは②にいきます。 ということは、兄が歩いた距離は弟が歩いた距離よりも、池1周分多いということが分かります。, つまり、この問題では兄のほうが弟よりも\(1800m\)長く歩いたということになります。. 2人の距離は弟が家を出たときには\(200m\)だったので、弟が姉に追いつくのは、$$200m\div 100=2$$となるので、弟が家を出て2分後に姉に追いつくことになります。 (問題)ＡくんとＢくんが3㎞はなれた地点から向かい合って同時に出発しました。Ａくんは毎分30ｍ、Ｂくんは毎分70ｍで歩いたとすると、2人が出会うのは出発してから何分後ですか。, (解説)3㎞＝3000ｍ、3000÷(30＋70)＝30(分)より、30分後に出会う, (問題)1㎞先を毎分30ｍの速さで歩いているＡくんを、Ｂくんが毎分70ｍの速さで追いかけます。ＢくんがＡくんに追いつくのはＢくんが出発してから何分後ですか。, (解説)1㎞＝1000ｍ、1000÷(70－30)＝25(分)より、25分後に追いつく。, (問題)ＡくんとＢくんがＰ地点を同時に出発し、 Ｐ地点から2.4㎞はなれたところにあるＱ地点へ向かいました。Ａくんは毎分30ｍ、Ｂくんは毎分70ｍで歩き、Ｑ地点に着いたらそのまま休まずに引き返します。2人が初めてすれちがうのは、出発してから何分後ですか。, (考え方)図で考えると、差ではなく和が求められる。Bくんが引き返してきてから出会うので、2人の進んだ距離の和が、2.4×2＝4.8(㎞)となる。, (解説)4.8㎞＝4800ｍ、4800÷(30＋70)＝48(分)より、48分後にすれちがう。, (問題)1本の道にそってＰ地点とＱ地点があります。Ｐ地点から春子と秋子が、 Ｑ地点から夏夫が同時に出発し、向かい合って進みました。春子と夏夫がすれちがってから5分後に、秋子と夏夫がすれちがいました。春子は毎分80ｍ、秋子は毎分60ｍ、夏夫は毎分100ｍで歩いていたとすると、Ｐ地点とＱ地点は何㎞はなれていますか。, (考え方)まず春子と夏夫が出会った時の状態を図で表し、「秋子と夏夫が5分で出会う距離」に注目。この距離は「春子と秋子の進んだ距離の差」にも等しい。, (解説)(60＋100)×5＝800(ｍ)が春子と秋子の進んだ距離の差になったときに、春子と夏夫が出会っている。800÷(80－60)＝40(分)で春子と夏夫が出会ったとわかるので、(80＋100)×40＝7200(ｍ)より、PQの間の距離は7.2㎞とわかる。. 速さの問題の解き方とは独立した全く別のものとしてとらえて教えてあげるほうが分かりやすいかもしれませんね。, 次に必要なるのは今回の例題で必要になるのは1分間に2人が移動した距離の合計です。 兄は1分ごとに\(30m\)弟よりも長い距離を歩いたことになります。 旅人算の池の周りを同じ方向にまわる追い越し算の解き方とコツ . これらの問題が旅人算の基礎になります。 2人が1時間に進む距離は、$$18+12=30$$\(30km\)だということが分かりました。 姉が家を出て2分後に進んだ道のりは、$$100m\times 2=200$$となるので、家から\(200m\)の地点に姉がいることになります。, 今回の問題では姉が家を出てから2分後に弟が家を出るのですが、まずは1分ごとに2人の距離がどれだけ縮むのかを求めましょう。 また、流水算という特殊算を解くときも必要になる考え方です。 部分なので、16分後から旅人算で 考えればよい。 すく男君と電車のきょりは3200mなの で、追いつかれる時間は 3200÷（1000－200）＝4分後。 16分後からだと16＋4＝20分後なので、A駅からは12000－200×20＝8000m＝8km。 (3) 電車はA駅から32分後とに出発して、 扱いやすい単位をうまく設定することで、計算が楽になるためちょうどいい単位に合わせてあげるといいですね。, 池の周りを同じ方向にまわる追い越し算の問題です。 一般的に言うと、ある単位量当たりに2つのものが移動した距離の和という感じでしょうか。 中学入試の算数で良く出題される旅人算についてオリジナル問題と解答を掲載しています。出会い算、追い越し算など掲載していますので参考にしてみてください。 この問題の難しさは、いつ、どこで出会ったのかが分からないというところです。 その問題文から分かることを一緒に考えてあげるのがややこしい文章問題でも解けるようになる近道かもしれませんね。, 先ほどの例題と似ていますが、聞かれていることが変わりましたね。 妹が兄の進んだ距離よりも湖1周分の長さ、\(3600m\)長く進んだ時に兄を追い越します。, 兄は秒速\(2m\)、妹は秒速\(5m\)なので、2人の距離は1分ごとに\(3m\)ひらくことになります。, その差が、\(3600m\)になった時に妹が兄を追い越すので、追い越す時間を求めると、$$3600\div 3=1200$$妹が兄を追いこすまでの時間はスタートしてから、1200秒後ということになります。, 求める答えは妹が自転車に乗っていた距離なので、$$5\times 1200=6000$$妹が自転車にのっていた距離は\(6000m\)ということになります。, 旅人算の基本的な4種類の問題を扱いました。 spiの問題で扱われる旅人算。この旅人算とは、2人が出会うのは〜、追いかけ、追いつき、追い越すのは〜と出題されるアレのことです。解き方のポイント"速さの和と差"を押さえることで簡単に攻略できるのですが、普段の生活では出くわさず、忘れてしまいますよね。 2人が出発して出会うまでに移動したそれぞれの距離の和は、池1周分の\(1200m\)です。 出会うまでにかかった時間は、$$24\div 30=0.8$$姉がスタート地点から妹と出会うまでに進んだ距離は、$$18\times 0.8=14.4$$答えは\(14.4km\)となります。, 時速に合わせても問題の解き方は全く同じです。 次に2人の1分間に移動した距離の和を考えます。[1] … Continue reading jQuery('#footnote_plugin_tooltip_349_1').tooltip({ tip: '#footnote_plugin_tooltip_text_349_1', tipClass: 'footnote_tooltip', effect: 'fade', predelay: 0, fadeInSpeed: 200, fadeOutSpeed: 200, position: 'top center', relative: true, offset: [-7, 0], }); 姉の時速\(18km\)を分速に単位を変えてみましょう。$$18\div 60=0.3$$姉の速さは分速\(0.3km\)ということになります。 という訳でちょっと視点を変えて追いついてしまった時の兄と弟の歩いた距離を考えてみましょう。, 兄が弟に追いつくということは、兄のほうがたくさん歩いたことは分かりますよね。 学校や塾によっては暗記するように教えられていることもありますが、どういう現象なのかを考えることができれば、自然と速さの和を使うことになります。 3人旅人算の典型題. 2人が出会うまでに移動した距離の和が\(3.2km\)になりますよね。, これをうまく利用するのがポイントになってきます。 同じ方向に進んで妹が兄を追いこすときを求めます。 2人が出会うまでにかかる時間は、$$24\div 0.5=48$$出会うまでに48分かかることが分かりました。 ここが1番のポイントです。, 追いつくというのは少し見方を変えると、「兄のほうが池を1周多くまわった」ということですね。 © 2020 みけねこ小学校 All rights reserved. 今回の問題でも2人の移動した距離の和がポイントになります。 旅人算の難しさは、図を描くなどして情報を整理しなければならないところにあります。しかし、それだけではなく、旅人算の説明で登場する「出会い」「追い越し」という言葉が混乱をもたらしているのも事実です。, 本記事では、旅人算の2パターンである「出会い算」と「追い越し算」について改めて考えてみたいと思います。, A地点とB地点があります。太郎君は分速80m、次郎君は分速60mで同時にA地点を出発しました。次郎君はB地点に向かう途中で、先にB地点を折り返してきた太郎君に出会いました。このとき、次の問いに答えなさい。, (1) AB間の道のりが1400mのとき、2人が出会ったのは出発してから何分後ですか。, (2) B地点の150m手前で2人が出会ったとすると、2人が出会ったのは出発してから何分後ですか。, (1)も(2)も、「次郎君はB地点に向かう途中で、先にB地点を折り返してきた太郎君に出会いました。」という点では同じです。しかし、「どちらも出会い算だから、速さの和を使おう！」と考えると間違ってしまいます。, こうした思い込みに支配された受験生は、「出会う」という言葉を見た途端に、脊髄反射で「速さの和」と考えてしまいます。しかし、実際は、(1)が速さの和を使う問題で、(2)が速さの差を使う問題です。, 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。, このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。, なお、記事中に間違いを発見された場合は、「お問い合わせ」ページ、もしくはコメント欄からご連絡ください。明らかな間違いは修正します。, 容器と水量に関する問題のうち、おもりを水に沈める問題を解説します。もともとの水面よりもおもりの高さが高いときは場合分けが必要です。この場合分けの練習を通して、「ある状況を仮定する」という方法に慣れましょう。, 中学受験や高校受験の算数・数学の図形問題では、補助線の引き方がとても大切です。「どうしてそこに補助線を引くの？」という疑問を解決するため、図形に補助線を描く際に必要な2つの視点を紹介します。, 三角形の面積計算で「2で割るのを忘れた！」と言う生徒たちがいます。こうした間違いは一般的に「不注意ミス」「ポカミス」とされがちですが、実はその背後には本質的な問題が……。間違いの原因を分析し、その解決策を提案します。, 中学受験算数の「比」の単元で学ぶ「倍数算」について、問題の解説を通して3つの解法を紹介します。中学受験生は、線分図、比例式、消去算のそれぞれの解法を比較して、自分に合った解法をしっかり身に付けましょう。, 中学受験算数の鬼門とされる「ニュートン算」。しかし、このニュートン算も、線分図を使って状況を視覚化し、他の特殊算と同じ解法で解けば難しくありません。牧場と牛に関する典型問題を使ってニュートン算の解法を考えます。, 中学受験算数の「速さと比」の単元には、歩数と歩幅に関する問題があります。この問題の解説を通して、逆算思考や情報整理の流れを紹介します。解法丸暗記ではなく、「なぜ？どうして？」を掘り下げてみましょう。.
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