{\displaystyle 1/2+i{\hat {H}}} 6, 534-543. {\displaystyle [x,p]=1/2} , 2 = / If the generalized Riemann hypothesis is true, then the theorem is true. [ American Mathematical Monthly 109 (2002), no. {\displaystyle {\hat {H}}} 2016.03.16 17:00; 26,410. satomi のスペクトルと一致する。これは正準量子化と対照的である。標準量子化はハイゼンベルクの不確定性原理 1 一般的に、与えられた数が素数かそうでないかを判定するのは難しい問題です。 ここでは、ある式の値が素数に関係する問題について考えます。 入試問題にでる素数判定 素数判定が難しいことは何度も書いていますが、それ … 素数とは, 1と自分自身の2つ以外に約数をもたない自然数である. リーマン予想が偽ならば、D → −∞ のとき h(D) → ∞ である。, 定理 (Heilbronn; 1934). V の約半ページ)と、リーマン予想を真と仮定する部分(約12ページ)である。, ガウスの類数予想は,与えられた類数を持つ虚二次体は有限個しかないという(ガウスの Disquisitiones Arithmeticae の article 303 において最初に述べられた)予想である.それを示す1つの方法は、判別式 D → −∞ のとき類数 h(D) → ∞ となることを示すことである。, リーマン予想に関わる以下の定理は Ireland & Rosen 1990, pp. この中でアラン・コンヌが素数問題と非可換幾何との関係性を示した。 2000年にクレイ数学研究所はリーマン予想の証明を含む数学の未解決問題7問に対してそれぞれ100万ドルの賞金を懸けた(ミレニアム懸賞問題)。 帰結 が存在して、以下を満たすと予想した。, あるいはさらに強く、リーマンの零点が作用素 Thus, the theorem is true!! 358–361 に記されている:, 定理 (Hecke; 1918). H 一般リーマン予想が偽であるということによって何が意味されるかを理解するのに注意を払うべきである:ちょうどどのクラスのディレクレ級数が反例を持っているのか特定すべきである。, リトルウッドの定理は素数定理における誤差項の符号に関するものである。すべての x ≤ 1023 に対して π(x) < Li(x) であることが計算されており[要出典]、π(x) > Li(x) であるような x の値は知られていない。この表を参照。, となるような任意に大きい x の値も存在する。したがって、差 π(x) − Li(x) は無限回符号を変える。Skewes 数は最初の符号変化に対応する x の値の評価である., リトルウッドの証明は2つの部分からなっている。リーマン予想を偽と仮定する部分(Ingham 1932, Chapt. 一般 Riemann 予想がある虚二次 ディレクレ指標の L 関数に対して偽ならば、D → −∞ のとき h(D) → ∞ である。, (Hecke と Heilbronn の仕事において、現れる L 関数は虚二次指標に付随するものだけであり、それは一般リーマン予想が真であるあるいは一般リーマン予想が偽であることが意図されているのはそれらの L 関数に対してのみである。ある三次のディレクレ指標の L 関数に対して一般 リーマン予想が成り立たなければ、一般リーマン予想は成り立たないが、これは Heilbronn が考えていたような一般リーマン予想の不成立ではなく、したがって彼の仮定は単に一般リーマン予想が偽であるというものよりも限定されていた。), 1935年、Carl Siegel はリーマン予想や一般リーマン予想を全く用いずに結果を強化した。, であることを示した (Ribenboim 1996, p. 320)。ただし φ(n) は Euler のトーシェント関数で,γ は Euler の定数である。, The method of proof is interesting, in that the inequality is shown first under the assumption that the Riemann hypothesis is true, secondly under the contrary assumption. x Copyright © mediagene Inc. All Rights Reserved. 賞金のかかった大物ということである。 「そのリーマン予想が解けたということなんですか?」 ... √を使った、また別の数学の世界もあるわけです。素数を大切にするというのは、そういういろいろある中の、一つのものの見方なんですね」 頷きながら、何だか僕は不思議な感じがした。急� これは次のようなハミルトニアンを生み出す。固有値がリーマンの零点の虚部の平方であり、またこのハミルトニアン作用素の汎関数行列式はリーマンのクシー関数である。実はリーマンのクシー関数はコンヌらによって証明されたように汎関数行列式(アダマール積), 有限体上のリーマン予想との類似は、零点と対応する固有ベクトルを含むヒルベルト空間は整数のスペクトル Spec(Z) のある種の1次コホモロジー群かもしれないと示唆する。Deninger (1998) はそのようなコホモロジー論を見つける試みのいくつかを記述した (Leichtnam 2005)。, Zagier (1981) はラプラス作用素の下でリーマンゼータ関数の零点に対応する固有値をもつ上半平面上の不変関数の自然な空間を構成した。そして、この空間上の適切な正定値内積の存在を示すというありそうもないイベントにおいてリーマン予想が従うことを注意した。Cartier (1982) は関連した例を議論した。奇妙なバグによってコンピュータープログラムが同じラプラス作用素の固有値としてリーマンゼータ関数の零点をリストするのである。, Schumayer & Hutchinson (2011) はリーマンゼータ関数に関連した適切な物理模型を構成する試みのいくつかをサーベイした。, リー–ヤンの定理(英語版)は、統計力学におけるある分割関数の零点がすべて実部 0 の「臨界線」上に乗っていると述べており、これはリーマン予想との関係についての推測をもたらした (Knauf 1999)。, となる。ここで λ(n) はリュービル関数(英語版)で、n が r 個の素因子をもつとき (−1)r によって与えられる。彼はこのことからリーマン予想が真であることが導かれると示した。しかしながら、Haselgrove (1958) は T(x) は無限個の x で負であること示し(また密接に関連したポリヤ予想(英語版)も反証し)、Borwein, Ferguson & Mossinghoff (2008) は最小のそのような x は 72185376951205 であることを示した。Spira (1968) は数値計算によって、上の有限ディリクレ級数が N = 19 のときに実部が 1 よりも大きい零点をもつことを示した。トゥランはまた、いくぶん弱い仮定、すなわち上の有限ディリクレ級数で大きい N に対して実部が 1+N−1/2+ε よりも大きい零点が存在しないことが、リーマン予想を導くことを示したが、Montgomery (1983) はすべての十分大きい N に対してこれらの級数は実部が 1 + (log log N)/(4 log N) よりも大きい零点をもつことを示した。したがって、トゥランの結果は自明に正しく(英語版)、リーマン予想の証明のためには使えない。, Connes (1999, 2000) はリーマン予想と非可換幾何学の間の関係を記述し、アデール類空間へのイデール類群の作用に対するセルバーグ跡公式の適切な類似があればリーマン予想が従うことを示した。これらのアイデアのいくつかは Lapidus (2008) に詳細に述べられている。, Louis de Branges (1992) はリーマン予想がある整関数のヒルベルト空間上の正性条件から従うことを示した。しかしながら、Conrey & Li (2000) は必要な正性条件が満たされないことを示した。この障害にもかかわらず、ド・ブランジュは同じ方針でリーマン予想を証明しようと取り組み続けたが、他の数学者から広く受け入れられていない (Sarnak 2005)。, リーマン予想はゼータ関数の零点が quasicrystal(英語版) をなすことを意味する、つまり discrete support をもつ distribution でありそのフーリエ変換も discrete support をもつ。Dyson (2009) は1次元の quasicrystals を分類する、あるいは少なくとも研究することによって、リーマン予想を証明しようとすることを提案した。, 幾何次元 1、例えば代数体、から、幾何次元 2、例えば数体上の楕円曲線の regular model, に行った時、モデルの数論的ゼータ関数(英語版)に対する一般リーマン予想の2次元部分はゼータ関数の極を扱う。次元1ではテイト論文におけるゼータ積分の研究はリーマン予想に関して新しい重要な情報を導かなかった。これに対し、次元 2 ではテイト論文の2次元の一般化に関する Ivan Fesenko(英語版) の研究はゼータ関数に密接に関係するゼータ積分の積分表現を含む。次元 1 では可能ではなかったこの新しい状況において、ゼータ関数の極はゼータ積分と付随するアデール群を通して研究することができる。ゼータ積分に伴う boundary function の四次導関数の正性に関する Fesenko (2010) の関連した予想は一般リーマン予想の極部分を本質的に含む。Suzuki (2011) はある技術的仮定と合わせて後者がフェセンコの予想を導くことを示した。, 有限体上のリーマン予想のドリーニュの証明は、もとのゼータ関数の零点の実部を制限するために、零点と極がもとのゼータ関数の零点と極の和に対応する、積多様体のゼータ関数を用いた。アナロジーによって、Kurokawa (1992) は零点と極がリーマンゼータ関数の零点と極の和に対応する多重ゼータ関数を導入した。級数を収束させるため彼はすべて非負の虚部をもつ零点や極の和に制限した。今のところ、多重ゼータ関数の零点と極について知られている制限はリーマンゼータ関数の零点に対して有用な評価を与えるほど強くない。, 関数等式を偏角の原理と合わせて考えれば虚部が 0 と T の間にあるゼータ関数の零点の個数は s = 1/2 + iT に対して次で与えられる:, ここに偏角は、偏角 0 の ∞ + iT から出発し、直線 Im s =T に沿って連続的に変化させることで定義される。これは大きいがよく分かっている項, の和である。なので虚部が T の近くの零点の密度は約 (log T)/2π であり、関数 S はこれとの小さな差を記述する。関数 S(t) はゼータ関数の各零点において 1 飛び、t ≥ 8 に対しては零点の間で導関数がおよそ −log t で単調に減少する。, Hardy (1914) と Hardy & Littlewood (1921) は、ゼータ関数に関連したある関数のモーメントを考えることによって、臨界線上には零点が無限個存在することを証明した。Selberg (1942) は、少なくとも(小さい)正の割合の零点は臨界帯上にあることを証明した。Levinson (1974) は、ゼータ関数の零点をゼータ関数の導関数の零点と関連付けることで、それを 1/3 に改善し、Conrey (1989) はさらに 2/5 に改善した。, リーマン予想に関する数学の論文は、それが真であるかどうか注意深く明言しない傾向にある。Riemann (1859) や Bombieri (2000) のように、意見を述べる人の大半は、リーマン予想は正しいと予想(あるいは少なくとも期待)している。これについて深刻に疑っていることを表明する人は少なく、その中には Ivić (2008) や Littlewood (1962) がいる。Ivić は懐疑的に考えている理由を並べている。また Littlewood は、誤りであると信じており、正しいという何らの証拠がない、正しいことを示す想像できる理由も全く存在しない、ときっぱり述べている。サーベイの論文 (Bombieri 2000, Conrey 2003, Sarnak 2008) の共通認識としては、リーマン予想が正しいという証拠は、強いが圧倒的ではないので、おそらく正しいであろうが、これを疑うのも妥当であるとしている。, 証明の手法は次の点で面白い:不等式は初めリーマン予想が正しいという仮定のもとで示され、次に反対の仮定のもとで示される。. サッカーの試合でボールを追跡するはずのAIカメラ、審判のスキンヘッドを追いかけ生配信, また最高が更新されてしまった。iPhone 12 Proのゴールド、今までで一番ゴールデンなゴールドかも, Sony HT-G700レビュー:おうちでドルビーアトモスサウンドを体感できるお手頃サウンドバー, スケールは小さく、密度はアップ:PS5注目タイトル『Spider-Man: Miles Morales』レビュー, 2030年代のイギリスの軍隊には、ロボットが大量に導入されることになるかもしれない. ] (2008), Mazur & Stein (2015) は数学的な入門を与え、Titchmarsh (1986), Ivić (1985), Karatsuba & Voronin (1992) は進んだモノグラフである。さらに、John Forbes Nash Jr. と Michael Th. (punctuation in original). 初代iPhone SEからiPhone 12 miniに変えたらいいことづくめでした! ^ If the generalized Riemann hypothesis is false, then the theorem is true. II”, “Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjectures)”, “Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion”, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0110&DMDID=DMDLOG_0032&L=1, https://web.archive.org/web/20090327181331/http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/notes/rh.pdf, Bulletin of the American Mathematical Society, https://web.archive.org/web/20090327181245/http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/misc/zagier-the_first_50_million_prime_numbers.pdf, http://www.math.wisc.edu/~robbin/funnysongs.html#Zeta, https://web.archive.org/web/20090327181245/http://oldweb.cecm.sfu.ca/~pborwein/COURSE/MATH08/LECTURE.pdf, https://web.archive.org/web/20100316235054/http://aimath.org/pl/rhequivalences, http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeroscompute.html, http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/talks/riemann-conjectures.pdf, http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_10_18_04.html, http://web.viu.ca/pughg/RiemannZeta/RiemannZetaLong.html, https://web.archive.org/web/20070427221654/http://pmmac03.math.uwaterloo.ca/~mrubinst/l_function_public/L.html, http://www.seedmagazine.com/news/2006/03/prime_numbers_get_hitched.php, https://web.archive.org/web/20090104104251/http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/index.html, http://math-it.org/Mathematik/Riemann/RiemannApplet.html, http://secamlocal.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/RHproofs.htm, NHKスペシャル 魔性の難問 リーマン予想・天才たちの闘い - NHK名作選(動画・静止画) NHKアーカイブス, https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=リーマン予想&oldid=80241299. 数学者の最新研究で、素数の出方に驚くべきパターンがあり、従来は知られていなかった「バイアス」が働いていることが明らかになりました。, 小4の算数(アメリカの場合。日本は中1)で習ったように、素数とは「その数と1でしか割れない数字」です。 2、3、5、7、11、13、17など。その出方は神出鬼没で予測不能。求める公式すらありません。, パターンが存在するかどうかも不可知なら、人類の数学者の叡智を結集してそれが解けるかどうかも不可知。ただ唯一、数学者の一致した見解は、「この素数がこれだから次の素数はこれ、という予測はできない。なぜならば、素数の出方はランダムだからだ」ということぐらいでした。, ところがこの「ランダムネス」の仮説をスタンフォード大学のKannan Soundararajan数学科教授とポスドク(博士研究員)のRobert Lemke Oliverさんが実証しようとしたら、なんとランダムネスすらも存在しなくて、その並び方には想定外のバイアスがあることが判明したのです。ニュー・サイエンティストが早速内容を報じてます。, ふたりが調べたのは最初の1億個の素数。この1億個で出方のランダムネスを調べてみたら、「1で終わる素数」の次がまた「1で終わる素数」になる確率はたったの18.5%だったのです。本当にランダムならこの確率は25%じゃないとおかしいですよね(素数の末尾はかならず1、3、7、9なので、確率は4つにひとつ)。「パターン」と呼ぶにはあまりにも弱い。でもさりとて100%ランダムでもない。なんなのだ、この18.5%という中途半端な数字は!!!!となった模様です。, 試しにほかの数字でも調べてみました。「3」と「7」で終わる素数が連続して出る確率は30%、「9」で終わる素数が連続して出る確率は約22%でした。ここで重要なのは、この傾向は十進法とは無関係なこと。つまり素数それ自体に本来備わった属性なのです。, なぜそうなるのか? まったくもって理解不能です。その辺のことについてSoundararajan教授とLemke Oliver研究員は、古くからある「素数k組予想(k-tuple conjecture)」(双子素数、三つ子素数、四つ子以上の素数の出方に関する考察)とたぶん関連があるんじゃないか、と睨んでます。, …と言われてもサッパリわからないのでClearerThinking.org創設者の数学者Spencer Greenbergさんに取材してみたら、素数k組予想とは素数同士の近さを理解する試みなのだと教えてくれました。「というか、もっと正確に言うと、数が大きくなればなるほど、隣合った素数の幅はどうなるのかってことだね。それがだいぶ詳しくわかるのさ」。たとえば、数学者は「5つ等間隔で並んでる素数」とかも調べられるんだそうですよ? 素数k組予想とはいわば近くの素数を見つける際の「constraint(拘束)」の研究。今回の研究ではこの「拘束」で面白いことがわかった、ということですね、はい。, 「数が大きくなっていくと、束縛は減っていって、末尾の数の配分も等分になっていくように思えますよね。だって素数はどんどんレアになっていくんだから」(Greenbergさん)。でもここで忘れちゃいけないのは素数は円周率πと同様、ものすごくランダムに見えるんだけど、実際はランダムでもなんでもないことです。「素数は数のもつ属性によって、カッチリ正確に決められている。単に人間がその出方を見ても、われわれの脳にはパターンが見えない、だからデタラメの狂気に見える、それだけの話なんでしょう」と語ってくれました。, いや~、今回の発見はかなりワクワクしてしまったのですが、双子素数予想、リーマン予想をはじめ、ほかの素数の研究のブレイクスルーになる研究ではないらしいです。というか、数学や数の定理の解明にはまったくなんの影響もないし、なんの用にも立たない発見とのことです。でも数学者Andrew Granvilleさんはニュー・サイエンティストにこう語ってますよ。, 「これでさらに理解が深まった。どんな小さなことでも助かる。それまで当たり前と思っていたことが違うとわかれば、ほかの自分ではもうわかりきってると思ってることも考え直すきっかけになるからね」.

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