11/4 16:34. 変な質問でごめんなさい。2年前に結婚した夫婦です。それまで旦那は「専門学校卒だよー」って言ってました。
Yahooショッピングが注文エラーなのにPayPay残高だけひかれました。
YはXの開集合か... 利潤関数π(L,K)=pF(L,K)-wL-rKについて以下の一階の条件を求めてください。
数学 線形代数 行列について 写真の問題の解き方を教えてください 何度計算しても答えが合いません. 物理数学は物理を学ぶためには必要不可欠です。この記事では、私の経験から確実に力がつく物理数学の参考書を10冊に厳選して紹介しました。詳しい内容は記事を参考にしてください。... 物理・化学系の方も高度な量子力学などを勉強すると高いレベルの線形代数の理解が必要不可欠. msmaflink({"n":"線型代数入門 (基礎数学)","b":"","t":"","d":"https:\/\/m.media-amazon.com","c_p":"\/images\/I","p":["\/51OVVk93A-L.jpg","\/31EeLv4F40L.jpg"],"u":{"u":"https:\/\/www.amazon.co.jp\/dp\/4130620010","t":"amazon","r_v":""},"aid":{"amazon":"1599241","rakuten":"1590916","yahoo":"1599260"},"eid":"B9yTB","s":"s"}); 個人的には、松坂先生の線形代数入門の方が専門書としては読みやすいように感じましたが、双対空間など重要な概念を扱っていなかったので、この本で学びました。, 線形代数の計算（固有値問題、ジョルダン標準系）などは、手を動かさないと定着できません. 0-1. このサイトでは、その経験談、学習効率を上げる方法、英語教育などを公開しています。, 東大で理論物理を研究している大学院生です。【経歴】東京大学院在籍、TOEIC950点達成、NASA留学経験、最優秀塾講師賞、オンライン英会話講師試験合格、ブログと独自コンテンツで収益６桁達成。
どなたかご教示お願い致します。, https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11233992931. (window,document,"script","//dn.msmstatic.com/site/cardlink/bundle.js","msmaflink"); 11/4 21:04. 『改訂 線形代数要論』 12.4.9 『黄金分割ー自然と数理と芸術とー』 『昭和金融恐慌史』 『現代解析学入門』 『改訂 線形代数要論』 More | Reply ログイン. 線形代数 (function(b,c,f,g,a,d,e){b.MoshimoAffiliateObject=a;b[a]=b[a]||function(){arguments.currentScript=c.currentScript||c.scripts[c.scripts.length-2];(b[a].q=b[a].q||[]).push(arguments)};c.getElementById(a)||(d=c.createElement(f),d.src=g,d.id=a,e=c.getElementsByTagName("body")[0],e.appendChild(d))})(window,document,"script","//dn.msmstatic.com/site/cardlink/bundle.js","msmaflink");msmaflink({"n":"手を動かしてまなぶ 線形代数","b":"","t":"","d":"https:\/\/m.media-amazon.com","c_p":"\/images\/I","p":["\/41NKr4AdO4L.jpg","\/31rUdm1hUjL.jpg","\/51HsOW4kfLL.jpg","\/41CXraMjbcL.jpg","\/51ZTlWCudDL.jpg"],"u":{"u":"https:\/\/www.amazon.co.jp\/dp\/4785315644","t":"amazon","r_v":""},"aid":{"amazon":"1599241","rakuten":"1590916","yahoo":"1599260"},"eid":"JGYGk","s":"s"}); 物理・化学系の方なら、とりあえずこの本の確認問題と基本問題を定着させて専門科目に集中してもOKな参考書です。. 線形代数をなんとなく理解しているという状態が一番危険です。この記事では、実際に読んできた中でも最高の十冊をレベル別に紹介します。院試対策のための本も紹介しました。 途中式、または解答よろしくお願いします。, マクローリン展開を利用して導関数(∂^8)/{∂(x^4)}{∂(y^4)}*cos(xy)の(x,y)=(0,0)における値を求めよ｡, さっきアメリカが国家非常事態宣言を出したそうです。ネットで「これはやばい｣というコメントを見たのですが、具体的に何がどうやばいんですか？. c.getElementById(a)||(d=c.createElement(f),d.src=g, 問7.5のように、線形変換を求めるというのは、具体的に何を求めればいいのでしょうか？, なんで数学オリンピックで優秀な成績を修めることが必ずしもその後すぐれた数学の業績をあげることを保証しないのですか？, 中級ミクロ経済学に関する質問です。 3. 1. (function(b,c,f,g,a,d,e){b.MoshimoAffiliateObject=a;b[a]=b[a]||function(){arguments.currentScript=c.currentScript||c.scripts[c.scripts.length-2];(b[a].q=b[a].q||[]).push(arguments)};c.getElementById(a)||(d=c.createElement(f),d.src=g,d.id=a,e=c.getElementsByTagName("body")[0],e.appendChild(d))})(window,document,"script","//dn.msmstatic.com/site/cardlink/bundle.js","msmaflink");msmaflink({"n":"マンガ 線形代数入門 はじめての人でも楽しく学べる (ブルーバックス)","b":"","t":"","d":"https:\/\/m.media-amazon.com","c_p":"","p":["\/images\/I\/51MW7L6w50L.jpg"],"u":{"u":"https:\/\/www.amazon.co.jp\/dp\/B00ZR7XVNO","t":"amazon","r_v":""},"aid":{"amazon":"1599241","rakuten":"1590916","yahoo":"1599260"},"eid":"BSR2n","s":"s"}); (function(b,c,f,g,a,d,e){b.MoshimoAffiliateObject=a;b[a]=b[a]||function(){arguments.currentScript=c.currentScript||c.scripts[c.scripts.length-2];(b[a].q=b[a].q||[]).push(arguments)};c.getElementById(a)||(d=c.createElement(f),d.src=g,d.id=a,e=c.getElementsByTagName("body")[0],e.appendChild(d))})(window,document,"script","//dn.msmstatic.com/site/cardlink/bundle.js","msmaflink");msmaflink({"n":"まずはこの一冊から 意味がわかる線形代数 (BERET SCIENCE)","b":"","t":"","d":"https:\/\/m.media-amazon.com","c_p":"\/images\/I","p":["\/510o-vM924L.jpg","\/41SCzPMvc4L.jpg"],"u":{"u":"https:\/\/www.amazon.co.jp\/dp\/4860642880","t":"amazon","r_v":""},"aid":{"amazon":"1599241","rakuten":"1590916","yahoo":"1599260"},"eid":"K4MrX","s":"s"}); 線形代数をこれから学ぶ方（＋苦手な方）は、この本を読むことで線形代数を学ぶ意味と図形的なイメージを身に付けることができます。, 『マンガ 線形代数入門 はじめての人でも楽しく学べる』に比べて専門的なところも結構解説します。. (function(b,c,f,g,a,d,e){b.MoshimoAffiliateObject=a;b[a]=b[a]||function(){arguments.currentScript=c.currentScript||c.scripts[c.scripts.length-2];(b[a].q=b[a].q||[]).push(arguments)};c.getElementById(a)||(d=c.createElement(f),d.src=g,d.id=a,e=c.getElementsByTagName("body")[0],e.appendChild(d))})(window,document,"script","//dn.msmstatic.com/site/cardlink/bundle.js","msmaflink");msmaflink({"n":"線形代数 (大学院入試問題から学ぶシリーズ)","b":"","t":"","d":"https:\/\/m.media-amazon.com","c_p":"","p":["\/images\/I\/41NKRvky8VL.jpg"],"u":{"u":"https:\/\/www.amazon.co.jp\/dp\/4535786038","t":"amazon","r_v":""},"aid":{"amazon":"1599241","rakuten":"1590916","yahoo":"1599260"},"eid":"YVbCz","s":"s"}); (function(b,c,f,g,a,d,e){b.MoshimoAffiliateObject=a;b[a]=b[a]||function(){arguments.currentScript=c.currentScript||c.scripts[c.scripts.length-2];(b[a].q=b[a].q||[]).push(arguments)};c.getElementById(a)||(d=c.createElement(f),d.src=g,d.id=a,e=c.getElementsByTagName("body")[0],e.appendChild(d))})(window,document,"script","//dn.msmstatic.com/site/cardlink/bundle.js","msmaflink");msmaflink({"n":"詳解 大学院への数学 線形代数編","b":"","t":"","d":"https:\/\/m.media-amazon.com","c_p":"\/images\/I","p":["\/31SWQBFNKiL.jpg","\/21WeP1iKRAL.jpg"],"u":{"u":"https:\/\/www.amazon.co.jp\/dp\/4489021984","t":"amazon","r_v":""},"aid":{"amazon":"1599241","rakuten":"1590916","yahoo":"1599260"},"eid":"V1NBB","s":"s"}); (function(b,c,f,g,a,d,e){b.MoshimoAffiliateObject=a;b[a]=b[a]||function(){arguments.currentScript=c.currentScript||c.scripts[c.scripts.length-2];(b[a].q=b[a].q||[]).push(arguments)};c.getElementById(a)||(d=c.createElement(f),d.src=g,d.id=a,e=c.getElementsByTagName("body")[0],e.appendChild(d))})(window,document,"script","//dn.msmstatic.com/site/cardlink/bundle.js","msmaflink");msmaflink({"n":"詳解 大学院への数学―理学工学系入試問題集","b":"","t":"","d":"https:\/\/m.media-amazon.com","c_p":"\/images\/I","p":["\/31pL3lJfjLL.jpg","\/315P2dH2thL.jpg"],"u":{"u":"https:\/\/www.amazon.co.jp\/dp\/4489003897","t":"amazon","r_v":""},"aid":{"amazon":"1599241","rakuten":"1590916","yahoo":"1599260"},"eid":"umo9e","s":"s"}); 結果的に物理の専門書を読んでいても、数学で困ることはあまりなくなりました（大学院レベルの物理をやり始めたら話は別でした…笑）, 複雑なことはノートにまとめて整理してください。（ノートではなくブログにアウトプットすれば稼ぎながら学べて効率的です【私の勉強法…】）, そのほかの数学・物理のオススメの参考書を知りたい方は下のボタンにクリックしてください, 基本的な例題はこの本でカバーできているので、定期試験対策程度なら十分です（院試だと物足りないですね…）, 院試を考えている人には、オススメです。大学受験のチャートと同じノリでやってください笑, 松坂先生の『位相・集合』を読んで即決で線形代数も書いましたが、やっぱり最高でした。, 松坂先生の本はどのシリーズもわかりやすいです。特に、集合・位相は読むべき一冊です。, たまに、欲しい過去問が収録されていることがあるので、解答を作る手間が省けます…笑笑, 院試の4カ月ぐらい前から使い出しました。過去問の解答を作成するときもめちゃくちゃ役立ちました。, 私は、このサイトを作った、Yumaです。
Sn＝ｎ次対称群, 原点における全微分可能性について質問です。どうやって全微分可能かを判定したらいいのかわかりません。また、全微分不可能な時とは具体的にどのような時でしょうか。. max π(L,K)=pF(L,K)-wL-rK生産要素が 2 つある場合の完全競争下の企業の利潤最大化問題です。 関数 F は 生産関数, p は生産される財の価格, w は労賃, r は「資本のレンタル料」です。まず, 最適化の 1 階条件に基づいて方程式を 2 つ作りま... 以下の画像の問題の(2)以降が分かりません。(2)〜(5)について解き方と答えを教えていただきたいです。 (function(b,c,f,g,a,d,e){b.MoshimoAffiliateObject=a;b[a]=b[a]||function(){arguments.currentScript=c.currentScript||c.scripts[c.scripts.length-2];(b[a].q=b[a].q||[]).push(arguments)};c.getElementById(a)||(d=c.createElement(f),d.src=g,d.id=a,e=c.getElementsByTagName("body")[0],e.appendChild(d))})(window,document,"script","//dn.msmstatic.com/site/cardlink/bundle.js","msmaflink");msmaflink({"n":"スバラシク実力がつくと評判の線形代数キャンパス・ゼミ―大学の数学がこんなに分かる!単位なんて楽に取れる! 何故ならば線形代数という分野は、 基本情報技術者試験よりレベルが高い試験である 応用情報技術者試験でよく出題されていた分野 だからです。 そのため、もし線形代数の勉強を万全にしておきたいという人は、 応用情報技術者試験の過去問題も勉強の範囲 だとして考えておいてください。 ●ブログ運営、英語、物理数学、プログラミング、大学院試を中心に発信します。, 少なくとも大学院試の線形代数で困ることはなくなり、線形代数をどんどん使いたくなります。. 例えば という関数とします。 この関数に を入れると は3に、 を入れると は5になりますね。 このように、何かしらの値 を入れるととある規則に沿って何かしらの値 … 「正常財であればギッフェン財にはなり得ない」というのが本当か説明しなさい。」この問題について解説をお願いします。, 数学の問題がわからないので途中式も含めて教えてほしいです 4.
An＝ｎ次交代群 スコア: 5. 開集合・閉集合の証明をお願いします。絵を描いたらなんとなくわかるのですが、どのように書いたらいいのかわかりません。(1)X={(x,y)∈R^2 :y>0}, Y={(x,y)∈X: x^2+y^≦1} とすると，Y はX の閉集合であるが，R^2の閉集合ではない。 私はそれを聞いて最初は嬉しかったけど、だんだん不安になってきました。 (2)X={(x,y)∈R^2 : 0≦x<1 または x>1}, Y={(x,y)∈X : 0≦x<1} とすると,
2. 一応Yahooに問い合わせしましたがも... MSNを閲覧すると下記のメッセージが出ます。
n ≥ 2 に対して, An ≤ Sn を証明せよ. 今回は線形代数の重要な概念の1つである線形写像（線形変換）について3回にわけてまとめていきたいと思います。, 例えば という関数とします。この関数に を入れると は3に、 を入れると は5になりますね。, このように、何かしらの値 を入れるととある規則に沿って何かしらの値 を返すものを関数と呼びます。, 関数の上位互換バージョンに写像があります。写像は、集合 の各要素に対して、集合 の要素がただ1つ対応している関係を表します。言い換えると、写像は集合 の要素を入れると集合 の要素を1つ返す魔法の箱といえますね。, 写像について（線形写像ではない）のもっと詳しい説明を見たい人は、こちらの記事をご覧ください。, 線形写像は写像のベクトルバージョンで、ルールに従ってベクトルの要素や次元を変える魔法の箱です。, しかし、線形写像には、ベクトル空間からベクトル空間において、つぎの条件を満たしていなければなりません。, ベクトル空間 からベクトル空間 への写像 を考える。 の任意のベクトル , 、任意の実数 において次の2つの条件が成立するとき、 を から への線形写像と呼ぶ。, 足し算の分離ができる\[f( \vec{x} + \vec{y} ) = f(\vec{x}) + f(\vec{y}) \], 定数倍の分離ができる\[f( k \vec{x} ) = k f(\vec{x}) \], また、同じベクトル空間同士（ベクトル空間 から ）への変換を特に線形変換と呼びます。, 線形写像の中でも、ベクトル空間 からベクトル空間 への写像 、つまり写像 によってベクトルの次元が変化しないときは線形変換と呼ばれる。, (1) \[ f \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2x-3y \\ -x+2y \end{array} \right) \], (2) \[ f \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} x^2 \\ x+y \end{array} \right) \], (3) \[ f \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \end{array} \right) \], (4) \[ f \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \], 行列を用いて表すと、\[\left( \begin{array}{ccc} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2x-3y \\ -x+2y \end{array} \right)\]となる。ここで、\[f( \vec{x} + \vec{y}) = A( \vec{x} + \vec{y}) = A \vec{x} + A \vec{y} \\f\vec{x} + f\vec{y} = A \vec{x} + A \vec{y} \]となるので、\[f( \vec{x} + \vec{y}) = f\vec{x} + f\vec{y} \]が成立する。, また、\[f(k \vec{x}) = A(k \vec{x}) = kA \vec{x} \\k f(\vec{x}) = kA \vec{x}\]となるので\[f(k \vec{x}) = k f(\vec{x})\]も成立する。, よって、線形写像である。（線形写像であるものはこのように行列を用いて示すことができます。）, \[ \vec{x} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) \]とする。, \[ f(2 \vec{x}) = f \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 4\\ 2 \end{array} \right) \\ 2 f ( \vec{x} ) = 2 f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 2 \end{array} \right) \]となり、\[f(k \vec{x}) = k f(\vec{x})\]を満たさない例があるため、線形写像ではない。, 行列を用いて表すと、\[\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \end{array} \right)\]となる。, \[ f(2 \vec{x}) = f \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \\ 2 f ( \vec{x} ) = 2 f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 2 \end{array} \right) \]となり、\[f(k \vec{x}) = k f(\vec{x})\]を満たさない例があるため、線形写像ではない。, 線形写像は入れたベクトルによって別のベクトルが出てくる魔法の箱と先ほど説明しましたね。, 先ほど線形写像の条件を2つ説明しました。この2つの条件により、魔法の箱でかかる魔法（つまり写像）を行列を用いて表すことができるようになります。, 線形写像 は行列 を用いて、\[f(\vec{x} ) = A \vec{x}\]と表すことができます。, なので、変換元、変換先がともに標準基底であるかそうでないかの2パターンにわけて表現行列の求め方を説明していきたいと思います。, ※問題文で特に基底の指示が書かれていない場合、変換元も変換先も標準基底同士で写像を適用するものだと思ってください。, 例えば \[f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) \\ f \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right) \]という線形写像 があるとします。, このとき、それぞれのベクトルは2次元標準基底\[\vec{e_1} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) \ \ \ \vec{e_2} = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) \]および3次元標準基底\[\vec{g_1} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \ \ \ \vec{g_2} = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \ \ \\vec{g_3} = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \]を用いて、\[f \left( \vec{e_1} \right) = 2 \vec{g_1} - \vec{g_2} + \vec{g_3} \\f \left( \vec{e_2} \right) = \vec{g_1} + 2\vec{g_2} - \vec{g_3} \]と表せます。これを行列を用いて書くと、\[\begin{align*}\left( \ f \left( \vec{e_1} \right), f \left( \vec{e_2} \right) \right) & = \left( \vec{g_1}, \vec{g_2}, \vec{g_3} \right) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 3 & -1 \end{array} \right)\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 3 & -1 \end{array} \right)\end{align*} \]と表すことができますね。, つまり、変換元も変換先も標準基底同士の場合は標準基底が移る先がそのまま表現行列になることがわかりますね。, 標準基底 , , …, で与えられる 次元ベクトル空間から同じく標準基底を取る 次元ベクトル空間（）への線形写像 による移り先が\[ f( \vec{e_1}) = \vec{a_1}, \ \ f( \vec{e_2}) = \vec{a_2} \ \ \cdots \ \ f( \vec{e_n}) = \vec{a_n} \]であるとき、表現行列 は\[ \begin{align*}A & = \left( f(\vec{e_1}), f(\vec{e_2}), \cdots , f(\vec{e_n}) \right)\\ & = \left( \vec{a_1}, \vec{a_2}, \cdots , \vec{a_n} \right)\end{align*} \]となる。, では標準基底同士という前提を取っ払いましょう。標準基底ではない場合、一旦標準基底に直してから写像を適応させ、元の基底に戻する必要があるため、計算がややこしくなります。, 先程と同じ \[f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) \\ f \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right) \]という線形写像 があるとします。, このとき、それぞれのベクトルの2次元の基底が、\[\vec{p_1} = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ -1 \end{array} \right) \ \ \ \vec{p_2} = \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 1 \end{array} \right) \]および3次元の基底が、\[\vec{q_1} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right) \ \ \ \vec{q_2} = \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) \ \ \\vec{q_3} = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right) \]のときの表現行列の求め方を考えてみましょう。, まずは、\[ \begin{align*}f (\vec{p_1}) & = 2 \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) \\ & = 2 \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ -4 \\ -5 \end{array} \right) \end{align*} \]\[ \begin{align*}f (\vec{p_2}) & = - \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) \\ & = - \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ -1 \\ -4 \end{array} \right) \end{align*} \]となります。, 標準基底から基底 , , …, に変換するためには、\[\left( \vec{q_1}, \vec{q_2}, \cdots , \vec{q_m} \right)^{-1} \left( f(\vec{p_1}), f(\vec{p_2}), \cdots , f(\vec{p_n}) \right)\]と計算する必要があります。, 基底 , , …, をとる 次元ベクトル空間から基底 , , …, を取る 次元ベクトル空間（）への線形写像 の表現行列 は基底行列\[P =\left( \vec{p_1}, \vec{p_2}, \cdots , \vec{p_n} \right) \\Q = \left( \vec{q_1}, \vec{q_2}, \cdots , \vec{q_m} \right)\]および標準基底における表現行列 を用いて、\[ \left( f(\vec{p_1}), f(\vec{p_2}), \cdots , f(\vec{p_n}) \right)= QB \\B =Q^{-1}\left( f(\vec{p_1}), f(\vec{p_2}), \cdots , f(\vec{p_n}) \right) \\B = Q^{-1} A P \]となる*1。, ベクトル空間が標準基底でない場合の表現行列 の求め方を図示すると、以下のようになります。, このように標準基底ではない場合、一旦標準基底に直してから写像 を適用させる必要があります。（行列の計算順序に気をつけてください。右側から順に適応していきます（, , なので、\[ B = Q^{-1} AP \] と）, から への線形写像 が\[f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right) \ \ \ f \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 3 \end{array} \right) \ \ \ f \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \end{array} \right)\]を満たすとする。(1)〜(3)の問いに答えなさい。, (1) の表現行列を求めなさい。(2) \[ f \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \]を求めなさい。(3) \[ f \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array} \right) \]を求めなさい。, , , をそれぞれ\[\vec{e_1} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \ \ \\vec{e_2} = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \ \ \\vec{e_3} = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)\]とする。表現行列は, \[ A = \left( f( \vec{e_1}), f( \vec{e_2} ), f( \vec{e_3} ) \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{array} \right) \]となる。, \[ \begin{align*}f \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) = & \ A \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \\ = & \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \\ = & \left( \begin{array}{ccc} 7 \\ 4 \end{array} \right) \end{align*} \], \[ \begin{align*}f \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) = & \ f \left( 3 \vec{e_1} + 3 \vec{e_2} + 4 \vec{e_3} \right)\\ = & \ 3 f ( \vec{e_1} ) + 3 f ( \vec{e_2} ) + 4 f ( \vec{e_3} )\\ = & \ 3 \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right) + 3 \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ \ 3 \end{array} \right) + 4 \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \end{array} \right)\\ = & \left( \begin{array}{ccc} 7 \\ 4 \end{array} \right)\end{align*} \], (1)で求めた表現行列を使う。\[ \begin{align*}f \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array} \right) = & \ A \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array} \right) \\ = & \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array} \right) \\ = & \left( \begin{array}{ccc} 2x-y+z \\ x+3y-2z \end{array} \right) \end{align*} \]となる。, \[ \begin{align*}f \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array} \right) = & \ f \left( x \vec{e_1} + y \vec{e_2} + z \vec{e_3} \right)\\ = & \ x f ( \vec{e_1} ) + y f ( \vec{e_2} ) + z f ( \vec{e_3} )\\ = & \ x \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right) + y \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ \ 3 \end{array} \right) + z \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \end{array} \right)\\ = & \left( \begin{array}{ccc} 2x - y + z \\ x + 3y - 2z \end{array} \right)\end{align*} \], から への線形写像 が\[f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ -3 \end{array} \right) \ \ \ f \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 1 \\ -3 \end{array} \right)\]を満たすとする。(1),(2)の問いに答えなさい。, (1) \[ f \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 3 \end{array} \right) \]の値を求めなさい。(2) の表現行列を求めなさい。, つぎの から への線形変換 がある。\[f \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 5x+y \\ 2x+4y \end{array} \right)\](1)〜(3)の問いに答えなさい。, (1) 標準基底に関する の表現行列 を求めなさい。(2) 基底 , から基底 , の線形変換 の表現行列 を求めなさい。\[\vec{p_1} = \left( \begin{array}{ccc} 4 \\ 1 \end{array} \right) \ \ \ \vec{p_2} = \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 2 \end{array} \right) \ \ \ \vec{q_1} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \ \ \ \vec{q_2} = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right)\](3) 基底 , 同士の線形変換 の表現行列 を求めなさい。\[\vec{p_1} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \end{array} \right) \ \ \ \vec{p_2} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \], (1) \[ \begin{align*}f \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 3 \end{array} \right)= & f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \end{array} \right) + f \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right) \\ = & \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ -3 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 1 \\ -3 \end{array} \right) \\ = & \left( \begin{array}{ccc} 6 \\ 3 \\ -6 \end{array} \right)\end{align*} \], (2) \[\begin{align*}f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) & = \frac{1}{3} \ f \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 3 \end{array} \right)\\ & = \frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} 6 \\ 3 \\ -6 \end{array} \right)\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right)\end{align*} \]なので、\[\begin{align*}f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) & = f \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right) - f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right)\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right)\end{align*}\]\[\begin{align*}f \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) & = f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \end{array} \right) - f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right)\\ & = \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right)\end{align*}\]となる。よって表現行列は、\[\left( f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right), f \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) \right) = \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 \\ 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{array} \right)\]と求められる。, \[ \begin{align*} \left( f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \end{array} \right), f \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right) \right) & = \left( f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right), f \left( \begin{array}{ccc} 0\\ 1 \end{array} \right) \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right)\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 \\ 2 & 1 \\ -3 & -3 \end{array} \right)\end{align*} \]と変形できるので、\[\begin{align*}\left( f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right), f \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) \right) & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 \\ 2 & 1 \\ -3 & -3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right)^{-1}\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 \\ 2 & 1 \\ -3 & -3 \end{array} \right) \cdot \frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{array} \right)\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 \\ 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{array} \right)\end{align*}\]と変形して表現行列を出すのもOK。, (1) \[f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 2 \end{array} \right) \ \ \ f \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 4 \end{array} \right)\]なので、表現行列は、\[\left( f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right), f \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) \right) = \left( \begin{array}{ccc} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} \right)\]となる。, 定義式の , の係数に注目する。すると、\[A = \left( \begin{array}{ccc} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} \right)\]となることがわかる。, (2) \[f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 21 \\ 12 \end{array} \right) \ \ \ f \left( \begin{array}{ccc} 27 \\ 18 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 2 \end{array} \right)\]なので、表現行列は\[\begin{align*}\left( f \left( \begin{array}{ccc} 4 \\ 1 \end{array} \right), f \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 2 \end{array} \right) \right) & = \left( \begin{array}{ccc} 5 & 6 \\ 11 & 8 \end{array} \right)\\ & = \left( \vec{q_1}, \vec{q_2} \right) B\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right) B\end{align*}\]となる。, よって表現行列 は、\[\begin{align*}B = & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccc} 21 & 27 \\ 12 & 18 \end{array} \right)\\ = & \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}21 & 27 \\ 12 & 18 \end{array} \right)\\ = & \left( \begin{array}{ccc} 3 & 9 \\ 9 & 9 \end{array} \right)\end{align*}\]と計算できる。, 基底行列をそれぞれ\[P = \left( \vec{p_1}, \vec{p_2} \right) \ \ \ Q = \left( \vec{q_1}, \vec{q_2} \right)\]とし、標準基底の表現行列 を用いると基底 , から基底 , における表現行列 は、\[\begin{align*}B & = Q^{-1} A P\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccc} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 5 \\ 1 & 2 \end{array} \right)\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 9 \\ 9 & 9 \end{array} \right)\end{align*}\]と計算できる。, (3) \[f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ -6 \end{array} \right) \ \ \ f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 6 \\ 6 \end{array} \right)\]なので、表現行列は\[\begin{align*}\left( f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \end{array} \right), f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \right) & = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 6 \\ -6 & 6 \end{array} \right)\\ & = \left( \vec{p_1}, \vec{p_2} \right) B\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{array} \right) C\end{align*}\]となる。, よって表現行列 は、\[\begin{align*}C = & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccc} 3 & 6 \\ -6 & 6 \end{array} \right)\\ = & \frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 3 & 6 \\ -6 & 6 \end{array} \right)\\ = & \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 \\ 0 & 6 \end{array} \right)\end{align*}\]と計算できる。, 基底行列をそれぞれ\[P = \left( \vec{p_1}, \vec{p_2} \right)\]とし、標準基底の表現行列 を用いると基底 , から基底 , における表現行列 は、\[\begin{align*}C & = P^{-1} A P\\ & =\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccc} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{array} \right)\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 \\ 0 & 6 \end{array} \right)\end{align*}\]と計算できる。, 標準基底同士の場合は標準基底の行き先を並べたものがそのまま表現行列に、標準基底同士ではない場合は、一旦標準基底になおして、写像を適用し、再びもとに戻した結果が表現行列になることを頭に入れておきましょう。, 次回は線形写像における合成写像・逆変換（逆写像）についてまとめていきたいと思います。, *1: の部分は、 なので、\[\begin{align*} &\left( f(\vec{p_1}), f(\vec{p_2}), \cdots , f(\vec{p_n}) \right) \\ = &\left( A(\vec{p_1}), A(\vec{p_2}), \cdots , A(\vec{p_n}) \right) \\ = &A \left( (\vec{p_1}), (\vec{p_2}), \cdots , (\vec{p_n}) \right) \\ = &AP\end{align*} \]と計算できる。, 数学と情報が得意な大学生です。数学科目と情報科目をわかりやすく説明するブログを作っています！.
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